¿Y si damos vueltas en cuadrados?

Tenemos claro que si damos una vuelta en círculo acabaremos en el mismo punto de partida. Pero ¿habéis pensado qué ocurre si caminamos formando un cuadrado ideal?
Imaginaros que caminamos cierta distancia al oeste, luego la misma hacia el norte, después la misma al este y finalmente descendemos al sur el mismo número de metros. ¿Estaremos en el punto de partida? Lo cierto es que si nos moviéramos en un plano sí, pero aquí en la Tierra las cosas son un pelín distintas.
























Como veis en el dibujo, no acabaremos en el mismo punto de inicio debido a que caminamos sobre una esfera (estoy idealizando).
Lo que quiero calcular es ¿a qué distancia del punto de partida me encuentro al final?
Vamos a seguir unos cálculos sencillos ayudados por estos dibujos.
En la parte superior vemos la Tierra vista con el polo Norte en el centro (la vemos "desde arriba") y allí observamos que si caminamos de 1 a 2 una longitud "l" abarcamos un ángulo "alfa". La relación entre l y alfa es sencilla: l=alfa * R (ecuación 1). Podemos hacer lo mismo con beta (de 3 a 4) y obtenemos la ecuación 2. Aplicando la misma relación entre ángulos y arcos entre el punto 5 y el 2 obtenemos la ecuación 3. Sustituimos la 3 en la 2 y obtenemos la ecuación 4. Despejando x (ecuación 5) obtenemos la relación entre la distancia al punto de partida con l y R.

Con R=6380 km, si caminamos 10km obtenemos un desfase de 7 metros (no es aplicable con la cantidad de rugosidad de la geometría), pero si caminamos 1000km obtenemos una distancia al punto de partida de 80km.

Así que cuidado la próxima vez que os vayáis a dar una vuelta, a ver si os perdéis.