La longitud infinita de los bordes rugosos


La investigación del padre de los fractales, Benoit Mandelbrot, permitió rescatar una investigación muy interesante de Lewis Fry Richardson acerca de la longitud de las costas o fronteras de países. Creo que es un punto de partida motivador e interesante en el estudio de los fractales. Básicamente Richarson decía que la longitud de las costas era proporcional al tamaño del instrumento de medida. Es decir, imaginemos la costa española y con un compás o una regla empezamos a medir desde San Sebastián. Si tenemos una regla lo suficientemente grande, al pasar por todas las rías gallegas, simplemente nos las saltamos porque nuestra regla no puede entrar a medir todos esos recovecos. Por tanto parece que cuanto menor sea la regla más costa medimos y por tanto más larga será la longitud ¿hasta dónde? Pues hasta el infinito (en teoría). Por tanto la longitud no sólo será inversamente porporcional al instrumento de medida, sino que también depende de la rugosidad de esa costa. Fijaros que si midiéramos por ejemplo el estado de Colorado en EEUU (que es un rectángulo) apenas veríamos diferencia en su longitud al utilizar reglas grandes o pequeñas. Ese grado de rugosidad se refleja como un exponente en la relación donde eta es el "ancho del compás"

Richardson analizó varias costas, y su representación gráfica (figura superior) en escala logarítmica muestran que cuanto más pendiente tenga una recta, mayor es alfa y más rugosa es la costa.
PD: Para los asturianos, aquí tenéis el estudio de Richardson para Asturias

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